Resolução da Lista de Exercício de Introdução a Física

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DA DISCIPLINA INTRODUÇÃO A FÍSICA MINISTRADA PELO PROFESSOR RAIMUNDO LOPES.

1) Tanto o Cálculo diferencial quanto o Cálculo Integral utilizam como fundamento o conceito do elemento infinitesimal.

a) O que é um elemento infinitesimal e de que modo ele é determinado?  Apresente a passagem da "variação discreta para a variação contínua" esboçando o conceito matematicamente com aplicação a uma variável x.

Solução:

Elemento infinitesimal é um elemento que o tornamos tão pequeno quanto desejarmos ele é determinado aplicando a definição de Limite fazendo uma variação discreta passar para uma variação infinitesimal. A variação contínua está associada a ideia de função contínua a qual os limites laterais (esquerda e direita) são iguais quando deitax tende a a, Vejamos o esboço matemático com aplicação a uma variável x:

Função contínua (podemos considerar a a variável x).

Os Limites laterais de a quando delta x tende a 0 são iguais a L.

b) Qual é a conexão entre o elemento infinitesimal e o Cálculo diferencial?
Solução:
A conexão é que ambos trabalham com a ideia de taxa de variação extremamente pequena.

c) Qual é a conexão entre o elemento infinitesimal e o Cálculo Integral?
Solução:
A conexão é que ambos trabalham com a ideia de taxa de variação extremamente pequena.

2) Apresente o conceito geométrico de derivada e o seu significado em termos de taxa de variação. No contexto da Física, como se dá a aplicação desse método ao estudo da velocidade de um certo objeto?

Solução:

O conceito geométrico de derivada de uma função é uma função que representa a reta tangente ao gráfico da função original. O significado da taxa de variação é o coeficiente angular da função. Vejamos o gráfico: 

Interpretação Geométrica de Derivada.

A aplicação desse método ao estudo da velocidade se dá ao aplicarmos a definição de derivadas na fórmula do espaço em função do tempo o resultado será a velocidade instantânea do objeto.

3) Apresente o conceito geométrico de integral.

Solução:
O conceito geométrico de integral é a área gerada pelo gráfico da função em um intervalo de integração até o eixo das abscissas. Vejamos no gráfico onde S representa a integral de f(x) que é uma área. 

S = Integral de f(x).

4) O que significa:

a) Calcular a derivada de uma função e calcular a derivada de uma função em um dado ponto?Solução:

Calcular a derivada de uma função significa encontrar outra função ( taxa de variação de uma função). Já quando aplicamos um ponto na derivada de uma função o resultado dos cálculos significa a inclinação da reta tangente ao ponto do gráfico da função original.

b) Calcular a integral de uma função e calcular a integral de uma função em um certo intervalo da variável de integração? O que são integrais definidas e integrais indefinidas?

Solução:

1. Calcular a integral de uma função significa encontrar uma antiderivada da função original;

2.Calcular a integral de uma função em um certo intervalo de integração significa encontrar a área total gerada pelo gráfico da função no intervalo da variável de integração. 

3. Integral definida é uma região limitada pelo intervalo de integração da função já a integral indefinida não há um intervalo definido. 

c) A derivada de uma função f(x) em relação a variável x ser constante?

Solução: 

Quando a variável x é uma constante a derivada de f(x) é igual a 0, o que significa que a reta tangente é paralela ao eixo das abscissas e consequentemente tem inclinação igual a 0.

5) Apresente uma aplicação do Cálculo Diferencial e uma aplicação do Cálculo Integral na Física.

Solução: 

1. A aplicação do Cálculo diferencial na Física é notável quando queremos encontrar a velocidade instantânea de uma partícula e só é conhecida a função do espaço dessa partícula. Aplicando a definição de derivadas na função espaço em função do tempo encontramos a velocidade instantânea dessa partícula.

2. A aplicação do Cálculo Integral na física também é notável quando queremos encontrar o espaço de uma partícula e só é conhecida  a função da velocidade. Integrando a função da velocidade encontramos a função do espaço em função do tempo.

6) Mostre que a força aplicada a uma partícula pode ser inferida a partir da derivada temporal do momento linear dessa partícula.

Solução: 

Demostração da derivada do momento linear de uma partícula resultando na Força aplicada a essa partícula.

Bons Estudos!!!!!  Veja mais aqui sobre elemento infinitesimal.